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实践是检验“黎曼几何”的唯一标准(二)

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发表于 2016-7-27 20:13:26 | 显示全部楼层 |阅读模式
实践是检验“黎曼几何”的唯一标准(二)
证明是不是懂得黎曼几何,再出一个最简单的问题。
以r圆为半径,在欧氏几何里的圆周是 2πr,面积是 πr2。
那同样的以r圆为半径,在黎曼几何里的圆周是什么? 面积是什么?
如果能回答这问题,才有资格说懂黎曼几何,才有资格讨论黎曼几何的真伪。
如果这么简单的问题都不懂,怎能自称黎曼几何的专家,怎敢对黎曼几何评头论足。

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发表于 2016-8-22 22:13:35 | 显示全部楼层
黎曼几何的世界

  几乎从欧几里得提出第五公设(也称平行公设)以来,数学家们就感到它不像公设,是能够加以证明的.
  公元1854年,黎曼发表了一篇关于球面(或椭球)几何的论文.文中对平行公设作了以下否定性陈述:“过不在直线上的任一点,不可能引一条直线与已知直线平行.”这相当于对平行公设(①原注:平行公设的一种陈述方法是——过不在直线上的任一点,有且只有一条直线与已知直线平行. )的否证.黎曼还决定看看如果改变欧几里得其他公设的陈述会怎么样,诸如“直线可无限延伸并产生无限长度”改为“直线没有边界,但并非无限长”.也就是说,它没有端点但却具有有限的长度.
实践是检验“黎曼几何”的唯一标准(二)14 / 作者:伤我心太深 / 帖子ID:21891,69545

  在球面几何中这种性质是存在的,因为在那上面所有的“直线”都是大圆.(②原注:一个大圆是在球面上的圆周,它的中心即为球心. )研究一个球,注意它任意两个大圆永远相交于两点,这意味着没有两条直线(大圆)是平行的.在球面几何里,我们还发现一个三角形的内角和大于180°.而一个三角形的面积随着角的和的增大而增大.
  这样的世界在哪里存在?莫非它就是我们的宇宙?如果我们宇宙的质量足够大,使得引力能让它猝然停止膨胀,并紧接着收缩变小,最终形成一个球的形状.这个球状的宇宙经历几十亿年之后,最后会缩成一个点一般大小,这个点具有无限的热量和密度.如果引力的大小不足以使宇宙紧缩,那么大概它会达到一个平衡点,此时膨胀恰好停止.

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