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AMC 8 | 第四讲:麦田怪圈中与三角形密切相关的两个圆

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发表于 2018-6-13 21:51:56 | 显示全部楼层 |阅读模式
AMC 8 | 第四讲:麦田怪圈中与三角形密切相关的两个圆38 / 作者:RakxwUSa / 帖子ID:31347,134600
这是图解数学的第 4 期。
「图解数学」系列用学生看起来最为直观的图形,载12期,来解SAT/ACT/AMC8平面几何的考点,并提供中英文对照。
本期要点:
1.麦田怪圈中最常见的图形
2.内接圆与内心
3.外接圆与外心
4.有关内心与外心的常用比例
AMC 8 | 第四讲:麦田怪圈中与三角形密切相关的两个圆59 / 作者:RakxwUSa / 帖子ID:31347,134600
我小时候听说了一个有意思的事情:人们航拍时发现麦田或其它田地上,出现了农作物被压平而产生出的几何图案,这些图案有三角有圆圈,人们把这个现象称为麦田怪圈(Crop Circle)。
有人认为它是某些人故意做出来的;也有人认为麦田怪圈的出现是因为外星人或者某种怪力。至今人们对怪圈的成因还不确定,所以有“磁场说”“预告说”“高频辐射说”等多种说法。
无论那种说法,它的图形总是这样的:由圆和三角组合而成。可见,无论是任何国家的人或是外星人(如果有的话),都认为三角形和圆形的组合是最本质、最有趣的图案之一。
那么三角形和圆有哪些组合方式呢?我们今天就来学习一下。
AMC 8 | 第四讲:麦田怪圈中与三角形密切相关的两个圆61 / 作者:RakxwUSa / 帖子ID:31347,134600
在三角形内部,和三角形三边都相切的圆叫做内接圆 (inscribed circle),这里补充讲一下相切 (touth) 的定义:圆和直线有且仅有一个交点叫做相切。所以内切圆的意思就是在三角形内部的一个圆,它和三角形三边所在的直线都有且仅有一个交点。
这样的圆怎么做出来的呢?
我们需要做三个角的角平分线 (angle bisector),三角形三个角的角平分线会交于一点,由角平分线的性质,这个点到三边的距离相等。
AMC 8 | 第四讲:麦田怪圈中与三角形密切相关的两个圆97 / 作者:RakxwUSa / 帖子ID:31347,134600
因为这个点到三边的距离 r 相等,所以以这个点为圆心,r 为半径做圆,圆就会和三边都相切,这个圆就叫做三角形的内接圆。
AMC 8 | 第四讲:麦田怪圈中与三角形密切相关的两个圆49 / 作者:RakxwUSa / 帖子ID:31347,134600
通过上述过程,我们知道,无论这个三角形长什么样,三角形内接圆都存在且唯一。内接圆圆心叫做内心 (incenter)
AMC 8 | 第四讲:麦田怪圈中与三角形密切相关的两个圆67 / 作者:RakxwUSa / 帖子ID:31347,134600
讲完了内接圆,我们来讲和三角形密切相关的另一个圆。
在三角形外部,也有这么一个圆,刚好就过三角形的三个顶点。我们把这个圆叫做三角形的外接圆 (circumcircle)
这个圆怎么做出来的呢?
首先,我们要做每条边的垂直平分线 (perpendicular bisector)。注意,不是垂线,垂线是从顶点往边做垂直的直线。而我们现在要做的垂直平分线是先找出每条边的中点,然后做垂线,如下图。
AMC 8 | 第四讲:麦田怪圈中与三角形密切相关的两个圆79 / 作者:RakxwUSa / 帖子ID:31347,134600
三条边的垂直平分线交于一点,因为垂直平分线的性质就是到线段两端距离相等,所以垂直平分线的交点到三个顶点距离都相等,如下图蓝线。
我们以垂直平分线交点为圆心,相等距离 R 为半径做圆,就会经过三个顶点。这个圆就叫做三角形的外接圆。
AMC 8 | 第四讲:麦田怪圈中与三角形密切相关的两个圆53 / 作者:RakxwUSa / 帖子ID:31347,134600
通过上述过程,我们知道,无论这个三角形长什么样,三角形内外圆也都存在且唯一。外接圆圆心叫做外心 (circumcenter)。
最后我们来讲一个具体的三角形,以边长为 a 的正三角形为例,内接圆半径 r 以及外接圆半径 R 和三角形边长是什么关系?
我们把内接圆半径 r、外接圆半径 R 都在图中标出,发现和边长的一半刚好构成了一个30°的直角三角形,利用30°直角三角形三边的比例关系。可以算出:
AMC 8 | 第四讲:麦田怪圈中与三角形密切相关的两个圆58 / 作者:RakxwUSa / 帖子ID:31347,134600
有趣的是:正三角形内接圆半径刚好等于外接圆半径的一半。
AMC 8 | 第四讲:麦田怪圈中与三角形密切相关的两个圆37 / 作者:RakxwUSa / 帖子ID:31347,134600
今天你学习了《图解数学》的第四讲,了解内接圆和外接圆,也学会计算内接圆外接圆半径的技巧。恭喜你,又解锁了一个新章节。下次我们将学习垂心与重心。
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